علم استنتاج


استنتاج


- به نام او -

 

همونطور که می دونید استنتاج به معنی نتیجه گرفتن ـه یا به عبارت دیگه" اگر از درستی یک [ تعداد ] گزاره بتونیم درستی گزاره ی دیگه ای رو دقیقا مشخص کنیم " به این کار میگن استنتاج.

 

برای فهم بهتر و دقیق تر به تعریف دقیق استدلال (عملی که منجر به یک استنتاج میشه !) توجه کنید:

استدلال         معتبر است اگر و فقط اگر در صورت TRUE بودن همه ی ها ،  همواره مقدار TRUE داشته باشد (یا به اصطلاح یک تاتولوژی باشه)

طبق جدول درستی عملگر شرطی ، یک استدلال معتبر استدلالی است که q همواره مقدار TRUE داشته باشه و خب شاید این سوال پیش بیاد که چرا ما مستقیما درستی q رو بررسی نمی کنیم (و علاوه بر اون درستی ها رو هم بررسی می کنیم).

در استدلال سعی ما این نیست که نشان دهیم q  راست است ، بلکه باید نشان دهیم که در صورت TRUE بودن همه ی ها ، q نیز راست است. (این کلید حل بسیاری از سوالات این بخش است. خوب فکر کنید)

به همین دلیل است که اکثر اثبات های ریاضی با جمله ی "با فرض آنکه و و ... و راست باشد " شروع شده و به جمله ی "آنگاه q نیز راست است" خاتمه می یابند.

به جای نماد از نماد هم استفاده می شود .

 

 

به طور مشابهی استدلال دوطرفه با نماد تعریف می شود   ، که به در تعریف آن به جای ، عملگر قرار دارد.

به جای نماد از نماد ( نماد هم ارزی ) هم استفاده می شود . پس به این ترتیب هم ارزی هم تعریف می شود.

 

درباره ی نماد های و و تفاوت هاشون  با عملگر های و در مطلب بعدی می نویسم. (فعلا کاربرد هایش رو مورد بررسی قرار میدیم)

 

در بین همه ی و q ها چند حالت خاص اون ها خیلی مهم اند و میشه گفت زیر بنای استنتاج و نتیجه گیری هستند.

قوانین استنتاج مهم:

( وضع مقدم )

( رفع تالی )

( قیاس )

( قیاس فصلی )

 

( ساده سازی )

 

( افزودن )

( عطف )

( حل )

 

 

مثال ) آیا استدلال زیر معتبر است؟

فرض ها :

  1. اگر امروز آفتابی باشد ، هوا سرد نخواهد بود.
  2. هوا سرد است و در خانه می مانم.
  3. اگر امروز آفتابی نباشد ، درس نمی خوانم.

حکم:

  • در خانه می مانم و درس نمی خوانم.

 

برای اینکه بفهمیم این استدلال درست است یا خیر باید آن را به صورت ریاضی بنویسیم.

هر گزاره را معادل عبارت جلوی آن در نظر بگیرید:

  • p : امروز آفتابی است.
  • q : هوا سرد است.
  • r : در خانه می مانم.
  • s : درس نمی خوانم

بنابراین استدلال ما به این شکل است:

               

 

حل:

 

  1. فرض دوم:
  2. ساده سازی (1) :
  3. فرض اول:
  4. رفع تالی (2و3) :
  5. فرض سوم:
  6. وضع مقدم (4و5) :
  7. ساده سازی (1) :
  8. عطف (6و7) :          

مثال )

آیا استدلال زیر معتبر است؟

 

حل:

  1. ساده سازی فرض اول:
  3. حل (1و2) :          

سفسطه : یک استدلال غیر معتبر

مثال )

قوانین استنتاج برای سور ها:

در سور ها با توجه به اینکه سور عمومی است یا سور وجودی آن ها را به استدلال های بدون سور تبدیل می کنیم و در آخر دوباره آن ها را به عبارت های سور دار تبدیل می کنیم.

تبدیل عبارت با سور عمومی به گزاره ی بدون سور:

      که c هر عنصر دلخواه می تواند باشد.

 

تبدیل عبارت بدون سور به گزاره ی دارای سور عمومی:

به ازای هر عنصر دلخواه مانند c     

 

 

تبدیل عبارت با سور وجودی به گزاره ی بدون سور:

      که c یک عنصر مشخص می باشد.

تبدیل عبارت بدون سور به گزاره ی دارای سور وجودی:

به ازای یک عنصر مشخص c     

 

توجه بسیار مهم: عبارت های پررنگ هر بخش ، بخشی از استدلال هستند و استدلال بدون در نظر گرفتن آن ها غلط می شود.

تمرین)

نشان دهید اگر x در گزاره ی A ظاهر نشده باشد ، آنگاه :   

 

 

 

  • تایپ ریاضی با استفاده از http://latex.codecogs.com



برگرفته شده از www.ehsantaher.blog.ir